1 引言
球头铣刀是数控加工复杂曲面(尤其是自由曲面)的重要刀具，市场需求量很大。由于球头铣刀刃形复杂，目前国内外对球头铣刀的加工大多需在多轴联动数控机床上实现，由于设备昂贵(可达上百万美元)，因此刀具的单件加工成本较高。为降低刀具加工成本，作者自1991年开始研究球头铣刀的非数控加工方法，并与合作研究者一起先后提出了磨制球头铣刀前刀面、后刀面的数学模型，探讨了硬质合金球头铣刀的相关加工模型和球头铣刀的序列生产问题。在对球头铣刀的深入研究开发中，为解决原加工方案中后刀面磨削机构较复杂的问题，改用平面曲线靠模代替空间曲线靠模进行加工并获得成功，进一步降低了铣刀加工成本。
为使同行对球头铣刀非数控加工的原理及方法有一个总体概念，本文对几个文献中阐述的加工原理及用于最终形成产品的相关主干数学模型作一汇总介绍。
2 前刀面加工原理及主干模型
为有利于切削，球头铣刀的刃口曲线应为“S”形球面曲线，即加工形成的前刀面与球面的交线应为“S”形曲线。为此设计的球头铣刀前刀面加工原理如图1所示。加工时，锥面砂轮绕定轴O1回转，同时工件(被加工铣刀)绕其轴线Oz回转，锥面砂轮相对工件运动形成的砂轮廓面族的包络面即为前刀面。
图1 前刀面加工原理
为建立前刀面加工的主干数学模型，选取分别固联在工件和砂轮上的右手直角坐标系s=[O；x，y，z]和s1=[O1；x1，y1，z1](见图1)，其中y 和y1轴平行且指向上方。若记砂轮大端半径为R2，锥面砂轮半顶角为g，砂轮大端到O1的距离为p，z 和z1轴的夹角为f，则当球头半径为R时，由坐标系s1转换到坐标系s的变换式为
| r={x，y，z}={x1cosf+z1sinf-psinf，y1+R2，x1sinf+z1cosf+R-pcosf} | (1) |
| r1={x1，y1，z1}={ucosv，usinv，p+(R2-u)cotg} | (2) |
令砂轮轮廓面绕y1轴以角速度w1回转，并将得到的在t时刻的瞬时方程转换到坐标系s中，再令其相对Oz轴以角速度w2回转，即可得到相对运动下砂轮廓面族的包络面(即前刀面)方程为
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(3) |
3 刃口曲线及参数优化
式(3)方程组中第一式对应的球面为
| x*2+y*2+z*2=R2 | (4) |
该球面与前刀面的交线即为刃口曲线。为使刃口曲线为理想的“S”形曲线，应对设计变量进行优选。设计变量为
| X=[X1，X2，X3]=[p，q，R2] | (5) |
其中q=w2/w1。具体的优选数学模型可参阅时培林、王伟、唐余勇合著的《关于球面铣刀制造中数学模型研究》(刊于《机械工程学报》1994年第5期)，此处从略。
图2 后刀面加工原理
4 后刀面加工原理及主干模型
设由式(3)、(4)解得的球面刃口曲线为
| r2={x2，y2，z2} | (6) |
磨制的后刀面必须过该刃口曲线，且具有足够后角。为此设计的后刀面加工原理如图2所示。图中，P0为y 轴上的定点(0，y0，0)，P2为刃口曲线上的任一点，P为平面靠模曲线上的对应点，由P点轨迹来保证砂轮廓面沿球面曲线进行磨削。设过P2点且垂直于直母线的直线交砂轮轴线P0P于P点，则只需求出方向向量P2P即可求出P点坐标，进而可求出直线P0P上与y=y0平面的交点P(x，y0，z)的轨迹(即靠模曲线)。若设向量P2P上的单位向量为t={
，
，
}，柱面砂轮半径为R1，则有
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(7) |
求出单位向量t={，，}，则P点轨迹方程为
| rP=r2+R1t | (8) |
则直线P0P的方程为
| rp=rp0+l(rp-rp0)/(rp-rp0) | (9) |
该直线与平面y=y0的交点轨迹即为靠模曲线。
因篇幅所限，本文不再罗列上述主干数学模型的具体表达式。需要指出，本节给出的数学模型比其他文献中的相应数学模型更为简洁，且对应的靠模曲线更易于制造和便于更替(以适应加工不同规格刀具的需要)，因而具有明显的优越性。加工后刀面时，存在优化选取y0、R1值的问题，选取原则是既要使刀具具有一定后角，又要保证刃口处具有足够强度。具体处理方法本文从略。
5 结语
本文介绍的球头铣刀非数控加工基本原理及主干数学模型已经过了生产实践的成功验证，目前与哈尔滨工业大学高技术园区合作开发的球头铣刀系列产品已投放市场。本文除对球头铣刀的低成本批量生产具有指导意义外，对于《关于二轴联动数控加工球头铣刀的几点说明》中提及的其它特种回转铣刀的批量生产亦具有参考价值。但应注意，本文内容仅反映了球头铣刀非数控加工原理的基本框架，如需在工艺上实现该加工方法，则需根据其他文献及本文框架补齐相应的非主干模型，再用于指导生产。
